연립방정식의 해와 그래프

연립방정식을 풀다 보면, 처럼 한 쌍의 해를 갖는 경우가 있습니다. 이것은 (2,3)이라는 좌표평면의 점이 됩니다. 이것은 연립방적식의 각각 일차방정식이 하나의 직선이고, 두 직선이 만나는 점이 됩니다. 그런데 모든 연립방정식이 한 쌍의 해를 갖는다고 생각하면 안됩니다.

해가 존재하지 않는 연립방정식

위 식을 가감법으로 풀어 (1)식에서 (2)식을 빼면 좌변은 모두 없어지고 0=2라는 말도 안되는 식이 나옵니다. 즉, 불능의 문제가 됩니다. 상식적으로 생각해 보아도 됩니다. 두 수를 더해서 5가 되기도 하고 3이 되기도 하는 경우는 없습니다. 이것을 직선이라는 관점에서 다시 살펴봅시다. 위의 방정식을 각각 y에 관하여 정리하면 와 이라는 직선이 되는데, 직선의 기울기가 -1로 같습니다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행하므로 이 두 직선은 만나지 않습니다. 만나지 않으므로 두 방정식을 만족하는 점은 없습니다.

해가 무수히 많은 연립방정식

(2)의 식의 양변을 2로 나누면 로 (1)의 식과 같게 됩니다. (1)식에서 (2)식을 빼면 좌변과 우변이 모두 없어지고 0=0이라는 부정의 문제가 됩니다. y에 관하여 정리하면 두 식 모두 라는 직선이 되는데, 당연히 기울기도 같고 y절편도 같습니다. 두 직선을 일치하도록 그리면 직선의 모든 점이 서로 만나게 됩니다. 무수히 많은 점이 해가 된다는 말입니다.

연립방정식을 각각 직선으로 보고 정리해 봅시다.

1) 기울기가 다를 때, 한 점에서 만난다(해는 1개).

2) 기울기가 같고 절편이 다를 때, 만나지 않는다(해는 0개).

3) 기울기와 절편이 모두 같을 때, 일치한다(해는 무수히 많다).

평면에서 두 직선의 위치관계는 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 일치하는 세 가지 경우밖에는 없습니다. 그런데 간혹 두 직선이 한 점에서 만나고 그 점 이외의 점에서 만난다는 표현을 쓰는 문제가 있습니다.

그러면 한 점과 또 다른 점이라고 생각하여 두 점에서 만난다고 생각하는 경우가 있습니다. 한 점과 또 다른 점에서 만난다면 일치하는 경우밖에 없습니다.

출처

• 중학수학 개념사전 92