조마조마

z =f(x,y) = xy 라는 곱셈 노드 함수가 있다.

이 곱셉 노드의 로컬 그래디언트는 다음과 같다.

편미분을 r이라고 표현하면,

rz / rx = r(xy) / rx = y

rz / ry = r(xy) / ry = x

현재 입력값에 대한 loss의 변화량은 로컬 그래디언트에 흘러들어온

그래디언트를 각각 곱해주면 된다.

곱셈 노드의 역전파는

순전파 때의 입력 신호들을 서로 바꾼 값을 곱해서 흘려보낸다.

z = x + y 라는 함수에서,

입력값은 x, y이다.

편미분을 r로 표현해서 rz / rx 값을 구해보자.

y가 픽스된 상태에서 x값의 변화에 대해 z에게 어떤 영향을 주는지 보자.

x + 1 = z 이런 함수로 가정했을때,

x값이 1 증가하면 z도 1 증가하고,

x값이 2 증가하면 z도 2 증가한다.

이는 rz / rx의 기울기(gradient)가 1이라는 것이다.

반대로 x가 픽스된 상태에서 y값의 변화에 대해 z에게 어떤 영향을 주는지 보자.

y + 1 = z 이런 함수로 가정했을때,

y값이 1 증가하면, z도 1 증가하고,

y값이 2 증가하면, z도 2 증가한다.

이는 rz / ry의 기울기(gradient)가 마찬가지로 1이라는 것이다.

이렇기 때문에 덧셈 노드에 대한 역전파시 rz / rx * rL / rz = 1 * rL / rz가 된다.

변화하는 두 양 x, y가 있을 때, 한 쪽의 양 x가 2배, 3배, 4배, ··· 가 되면 다른 쪽의 양 y도 2배, 3배, 4배, ··· 가 될 때, x는 y에 정비례한다고 하며 관계식은 [이때 는 비례상수]입니다.

비례는 어떤 두 수가 일정한 비율로 가질 때 사용하는 말입니다. 'y는 x에 비례한다'라고 하면 이 두 수를 x와 y로 놓았을 때를 말하는 것입니다. 또를 방정식으로도 만들 수 있습니다.

비례식을 방정식으로 만들 때, '내하의 곱과 외항의 곱은 같다'는 것은 등식의 성질을 이용한 것입니다.

(∵비를 비의 값으로)

(∵양변에 분모의 최소공배수 2y를 곱하여)

(참고 : ∴는 '그러므로', ∵는 '왜냐하면'이라는 뜻입니다.

이처럼 x에 어떤 수를 곱하는 꼴, 즉 라는 식을 얻게 되는데, 이를 '비례'라고 합니다. 다만 특별히 강조하고자 할 때는 '정비례'라고 합니다. 그런데 과 같은 식은 비례가 아니며, 그렇다고 반비례도 아닙니다.

에서 x가 1일 때, y는 3입니다. x가 2일 때, y는 5입니다. 이것을 비례식으로 만들면 라는 잘못된 비례식이 만들어 집니다. 즉 비례하지 않습니다. 따라서 와 같이 의 꼴이 아닌 식은 비례, 즉 정비례가 아니었던 것입니다. 이것은 평소 비례를 'x가 커지면 y도 커지는 것'이라고만 생각했기 때문입니다. 이 말 속에는 '같은 비율로'라는 말이 빠져 있기 때문입니다.

에서 를 비례상수하고 합니다. 를 로 놓고 에 관하여 정리하면 가 됩니다. 그래서 'y가 x에 대하여 정비례할 때, x대한 y의 비의 값, 즉 는 로 일정하다'라고 말합니다. 는 를 직선으로 볼 때 '기울기'가 됩니다.

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• 중학수학 개념사전 92

좌표평면을 처음 개발한 사람은 철학자이며 수학자였던 데카르트(Descartes, R. 1596~1650)입니다. 그가 해군에 있을 때였습니다. 무료한 나날을 보내던 그는 선실에 누워서 바둑판 모양의 천정을 바라보고 있었는데 마침 파리가 천정에 달라붙어 있었습니다. 데카르트는 이 파리가 앉아 있는 위치를 생각하다가 좌표평면의 개념을 떠올렸습니다.

어떤 목표물의 위치는 어떤 기준점에서 '오른쪽으로 몇 칸, 위로 몇 칸'처럼 표현할 수 있다는 것입니다. 이처럼 평면상의 위치를 나타내는 것이 좌표평면이고, 위치는 점이 됩니다.

좌표평면은 가로가 된 수직선(수가 있는 직선)의 원점에 세로로 수직선의 원점이 교차하도록 그립니다. 이때의 가로 수직선을 x축, 세로 수직선을 y축이라고 하고, x축과 y축을 합하여 좌표축이라 합니다. 좌표평면은 좌표축에 의해서 네 부분으로 나누어 집니다. 이 때 그 각각을 좌표축의 숫자가 모두 양수인 제1사분면부터 시계 반대방향으로 제2사분면, 제3사분면, 제4사분면이라고 합니다. 단, 좌표축 위의 점은 어느 사분면에도 속하지 않습니다.

원점은 O로 나타내는데, 이것은 0이 아니라 영어 Origin의 앞 글자입니다. 즉, 원점도 O(0,0)으로 나타낸다는 것입니다.

두 개의 원소를 소괄호로 묶어 좌표를 나타내는데, 이를 순서쌍이라고 합니다. 순서쌍은 말 그대로 '순서가 있는 쌍'입니다. 따라서 순서쌍 (2, 4)와 (4, 2)는 서로 다른 위치를 나타냅니다.

점들이 모이면 직선이나 곡선이 됩니다. 데카르트의 아이디어는 기하학적 내용을 방정식으로 나타내어 그 결과를 기하학적(그림)으로 다시 번역하는 것입니다. 즉, 데카르트는 함수의 개념을 명확히 직선 또는 곡선의 방정식으로 나타내는 획기적인 표현법을 마련한 것은 물론 위치를 좌표(x, y)라는 개념을 도입하여 표현함으로써 그림과 방정식이라는 이질적인 것을 하나로 통합하는 데 기여하였습니다. 또한 방정식을 그래프로 나타내어 직관적인 파악이 가능하게 하였습니다.

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• 중학수학 개념사전 92

상자에 3을 넣으면 5을 더해서 8이 되어 나오고, 4는 9로, 5는 10이 되어 나옵니다. x를 넣으면 당연히 x+5가 나오게 됩니다. 이것은 로 표현됩니다. 함수는 일정한 대응 관계를 형성하게 되는데 이를 '대응'이라고 합니다.

3   ->  8

4   ->  9

5   -> 10

6   -> 11

이때 X를 '정의역', Y를 '공역'이라고 합니다. 집합 X의 원소들을 x, 집합 Y의 원소들을 y라 할 때, 정의역은 '정의된 구역'의 약자로 변수 x가 취할 수 있는 값의 범위 또한 '변수 x가 정의된 영역'으로 이해하면 됩니다.

공역에서 '공'은 '함께 공'자로 '정의역과 함께 있는 영역'이라는 뜻입니다. 보통 함수에서 아무 말이 없을 때는 정의역과 공역은 실수 전체입니다. 2

정의역 X의 원소 x에 대응하는 공역 Y의 원소 y를 '함수값'이라 합니다. 예를 들어 이면 8을 3의 함수값이라고 합니다. 함수값 전체의 집합을 '치역'이라고 하는데, 치역은 항상 공역 안에 있으므로 (공역)⊃(치역)이 성립합니다.

           1

           2

a    ->  3

b    ->  4

c    ->  5

정의역 : {a, b, c}

공역 : {1, 2, 3, 4, 5}

치역 : {3, 4, 5}

는 결국 함수값 y와 같게 됩니다. 따라서 라는 식을 얻게 됩니다.

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• 중학수학 개념사전 92

두 변수 x와 y에 대하여 x의 값이 결정되면 이에 따라 y의 값이 하나로 결정될 때, y를 x의 함수라 하고, 기호로 와 같이 나타낸다.

함수(函數)는 function의 중국어 음역으로 알려져 있습니다. 함(函)자에는 '상자에 넣다.'라는 뜻이 담겨 있습니다.

공집합이 아닌 두 집합 X, Y에 대하여 X의 각 원소 x에 Y의 원소 y가 하나씩 대응되는 관계를 X에서 Y로의 함수라 하고, 이를 다음과 같이 나타냅니다.

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• 중학수학 개념사전 92

을 근의 공식으로 풀면 (단, 일 때)이 됩니다. 그런데 왜 '일 때'라는 예외 조항을 두었을까요? 가 음수라면 어떤 일이 일어날까요?

와 같은 '음수의 제곱근'은 존재하지 않는다는 것을 기억할 것입니다. 으로 놓고 근의 공식을 적용해 봅시다. 처럼 루트 안이 음수가 되어 나타납니다. 이 안되듯이 루트 안, 즉 이 음수이면 근을 갖지 않기 때문입니다. 이것을 고등학교에서는 허근이라고 합니다.

이차방정식의 해를 구하려면 인수분해나 근의 공식으로 직접 구하는 방법밖에 없습니다. 그러나 근의 개수만을 알려면 굳이 해를 구하는 과정을 모두 거칠 필요가 없습니다. 루트 안, 즉 이 양수이면 해가 2개이고, 0이면 중근, 음수이면 해를 갖지 않게 됩니다. 이렇게 근의 개수만을 판별할 수 있다고 해서 를 판별식 D(discriminant)라고 합니다.

판별식 : 

: 근이 2개(서로 다른 두 실수인 근)

: 근이 1개(중근)

: 근이 0개(서로 다른 두 허근)

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• 중학수학 개념사전 92

이차방정식 을 풀 때, 가장 먼저 생각해 보아야 할 것은 인수분해입니다. 그런데 곱해서 -8이 되고, 더해서 6이 되는 것을 찾을 수 없습니다. 그렇다면 완전제곱의 꼴로 바꾸어 풀거나 근의 공식을 사용할 수 밖에 없습니다. 

로 보고 근의 공식을 이용하여 풀면 이 되는데, 두 근을 따로 쓰면 와 입니다. 이 두 근은 인수분해에서 곱이 -8이 되고, 합이 6이 되는지를 확인해 봅시다.

두 근의 곱 : 

두 근의 합 : 

두 근의 곱은 예상했던 대로 -8이 맞지만, 두 근의 합은 6이 아니라 -6입니다. 이것은 인수와 근과의 차이 때문에 생겨나는 것입니다. 예를들어 한 근이 라면 인수는 로 부호가 바뀌는 현상이 일어나기 때문입니다.

이차방정식 의 두 근을 와 라 할 때,

직접 확인해 보는 것도 좋습니다.

의 근은 와 입니다.

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• 중학수학 개념사전 92

인수분해가 안되는 이차방정식을 완전제곱의 꼴로 바꾸어서 매번 풀기에는 너무 시간이 오래 걸리기 때문에 근의 공식이 만들어졌습니다. 근의 공식은 기본적으로 이차방정식의 완전제곱의 꼴로 만들기와 같습니다.

을 완전제곱식으로 나타내어 근을 구해 봅시다.

(1) 양변을 의 계수 로 나눕니다.

(2) 상수항을 우변으로 이항합니다.

(3) 좌변을 완전제곱식으로 만들어 정리합니다.

(4) (3)의 이차방정식을 풉니다.

(단, 일 때)

(단, 일 때)

이차방정식은 모두 근의 공식을 이용하여 풀 수 있습니다.

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• 중학수학 개념사전 92

이차방정식을 인수분해로 풀 때 곱해서 0이 되는 특수한 성질을 이용하였다면, 완전제곱식을 만드는 데는 일차항을 없애려는 노력이 숨어 있습니다.

일차방정식 : 

이차방저식 : (인수분해) 또는 

고차방정식 : (인수분해) 또는 

완전제곱의 꼴로 이차방정식 풀기

이차방정식을 푸는 가장 빠르고 편리한 방법은 인수분해입니다. 그러나 인수분해가 복잡하거나 유리수의 범위를 벗어날 때는 완전제곱의 꼴로 이차방정식을 풀어야 합니다. 즉, x가 있는 항을 x의 일차식의 제곱, 즉 완전제곱식으로 고치면 인수분해가 안되는 이차방정식도 풀 수 있습니다. 

예) 

인수의 제곱의 꼴, 즉 의 형태로 만드는 것이므로 그냥 제곱식이라고 해도 되는데, 굳이 완전제곱식이라고 하는 것은 관용상의 표현일 뿐입니다. 

출처

• 중학수학 개념사전 92