조마조마

을 전개하면 가 됩니다. 그렇다면 을 다시 인수분해하여 로 나타낼 수 있을까요? 치환을 한다면 얼마든지 풀 수 있습니다.

에서 라 놓으면 가 되어 인수분해가 됩니다.

다시 원래대로 대입하면

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• 중학수학 개념사점 92
  

이차방정식이라고 하면 보통 (단, )을 떠올립니다. 물론 이것도 차수(문자의 곱해진 개수)가 2차이므로 이차방정식이 맞지만 과 같은 것도 이차방정식입니다.

물론 은 문자가 2개이고, 식이 하나이기 때문에 부정방정식이고, 또 다른 식이나 조건이 주어지지 않는 한 풀 수 없습니다.

이차방정식 : 차수가 2차인 방정식

우리가 흔히 풀고 있는 (단, )은 미지수가 1개인 이차방정식입니다. 미지수가 한 개 있고, 식이 한 개 있으므로 어떤 방식으로든 풀 수 있다는 사실을 기억해야 합니다.

에서 a가 0인 경우는 이차방정식이 아니라 일차방정식()이 됩니다. 따라서 이차방정식 이라는 말은 (단, )와 같이 문제에서 사용되고 있는 것입니다.

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• 중학수학 개념사전 92

연립방정식을 풀다 보면, 처럼 한 쌍의 해를 갖는 경우가 있습니다. 이것은 (2,3)이라는 좌표평면의 점이 됩니다. 이것은 연립방적식의 각각 일차방정식이 하나의 직선이고, 두 직선이 만나는 점이 됩니다. 그런데 모든 연립방정식이 한 쌍의 해를 갖는다고 생각하면 안됩니다.

해가 존재하지 않는 연립방정식

위 식을 가감법으로 풀어 (1)식에서 (2)식을 빼면 좌변은 모두 없어지고 0=2라는 말도 안되는 식이 나옵니다. 즉, 불능의 문제가 됩니다. 상식적으로 생각해 보아도 됩니다. 두 수를 더해서 5가 되기도 하고 3이 되기도 하는 경우는 없습니다. 이것을 직선이라는 관점에서 다시 살펴봅시다. 위의 방정식을 각각 y에 관하여 정리하면 와 이라는 직선이 되는데, 직선의 기울기가 -1로 같습니다. 기울기가 같고 y절편이 다르면 평행하므로 이 두 직선은 만나지 않습니다. 만나지 않으므로 두 방정식을 만족하는 점은 없습니다.

해가 무수히 많은 연립방정식

(2)의 식의 양변을 2로 나누면 로 (1)의 식과 같게 됩니다. (1)식에서 (2)식을 빼면 좌변과 우변이 모두 없어지고 0=0이라는 부정의 문제가 됩니다. y에 관하여 정리하면 두 식 모두 라는 직선이 되는데, 당연히 기울기도 같고 y절편도 같습니다. 두 직선을 일치하도록 그리면 직선의 모든 점이 서로 만나게 됩니다. 무수히 많은 점이 해가 된다는 말입니다.

연립방정식을 각각 직선으로 보고 정리해 봅시다.

1) 기울기가 다를 때, 한 점에서 만난다(해는 1개).

2) 기울기가 같고 절편이 다를 때, 만나지 않는다(해는 0개).

3) 기울기와 절편이 모두 같을 때, 일치한다(해는 무수히 많다).

평면에서 두 직선의 위치관계는 한 점에서 만나거나, 평행하거나, 일치하는 세 가지 경우밖에는 없습니다. 그런데 간혹 두 직선이 한 점에서 만나고 그 점 이외의 점에서 만난다는 표현을 쓰는 문제가 있습니다.

그러면 한 점과 또 다른 점이라고 생각하여 두 점에서 만난다고 생각하는 경우가 있습니다. 한 점과 또 다른 점에서 만난다면 일치하는 경우밖에 없습니다.

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• 중학수학 개념사전 92

분자가 다항식일 때는 음의 부호와 괄호의 문제가 오답을 일으킵니다. 다음 문제는 분수계수의 방정식이므로 먼저 2를 곱하여 간단하게 만드는 것이 좋습니다. 먼저 오답의 유형을 봅시다.

먼저 방정식에서 를 따로 떼어 내어 살펴봅시다. 분수 앞의 음의 부호를 분자에 올려 줄 때, 분자에 괄호가 있다고 생각해야 합니다. 그러면 이 됩니다. 여기에 2를 곱하면 로 올바른 식은 입니다. 첫 번째 오답은 음의 부호 처리가 잘못되었고, 두 번째 오답은 음의 부호를 처리하다가 각항에 빠짐없이 곱하는 것을 놓쳤습니다.

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• 중학수학 개념사전 92

의 계산에서 분수꼴인 부분에 각각 12를 곱하여 분모를 없애고 로 문제를 풀면 틀리는 이유는 무엇일까요?

위 문제는 다항식과 방정식을 구분하지 못하는 오류에서 비롯됩니다. 분모의 최소공배수를 곱하였던 것은 등식이 있는 방정식에서 사용했던 방법입니다. 위 식은 등식이 아니기 때문에 수를 곱하면 당연히 다른 수가 됩니다.

만약 인 일차방정식이라면 양변에 12를 곱해서 로 만들면 됩니다. 이를 풀면 입니다. 그러나 와 같은 다항식에 12를 곱해서 와 같이 분모를 없애고 계산하면 답이 틀립니다.

가 올바른 방법입니다. 통분의 과정이 복잡하여 다른 방법을 찾는다면 아예 방법이 없는 것은 아닙니다. 12를 곱했다면 반대로 다시 12로 나누어 주면 됩니다. 준식(주어진 식)에 12를 곱하고 다시 나누는 과정을 거치면 처럼 올바른 식에 도달할 수도 있습니다.

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• 중학수학 개념사전 92

같은 수의 곱으로 유리화가 되지 않을 때

분모의 유리화 중에는 처럼 분모와 같은 수를 곱하여도 유리수가 되지 않는 경우가 있습니다. 만약 분모에 을 곱하면 로 여전히 무리수이고, 를 곱해도 마찬가지입니다. 분모와 같은 수를 곱하여 가 되어도 계산해 보면 로 여전히 무리수입니다. 이 문제를 해결하기 위해서는 다항식의 곱셈 중에 합차공식, 즉 를 이용하면 됩니다.

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• 중학수학 개념사전 92

유리수와 무리수를 합하여 실수라고 하는데 실수는 '실제의 수'라는 뜻입니다. 그렇다면 가짜의 수인 '허수'도 있습니다.

복소수는 실수와 허수로 구성되어 있으며 실수는 유리수와 무리수로 구성되어 있습니다.

유리수는 분수로 만들 수 있는 수이고, 무리수는 분수로 만들 수 없는 수입니다. 외우기 좋도록 약간 변형하면 유리수는 분수로 만들기 유리한 수이고, 무리수는 분수로 만들기에 무리가 있는 수입니다.

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• 중학수학 개념사전 92

'의 해를 구하라.'를 말로 나타내면, '같은 수를 두 번 곱해서 4가 나오는 수가 무엇일까?'입니다. 처음에는 x의 값인 2만 생각나겠지만 4는 +4와 같고 곱해서 +가 나오는 경우 (+)x(+)도 있지만 (-)x(-)도 있습니다. 따라서 답은 +2와 -2입니다. 이것을 한꺼번에 ±2(플러스 마이너스 2 또는 복호 2라고 읽습니다. 복호란 부호가 복수로 있다는 뜻이다.)로 나타냅니다.

의 이름 : 루트/제곱근/근호

(기호 ''는 루트(root)의 앞 글자 'r'을 형상화하여 만든 기호로, 루트는 '뿌리'라는 의미입니다. 그래서 '뿌리 근'자를 이름으로 하고 있습니다.)

의 해가 없지만 이를 있다고 가정하고 답을 구하면 이며, 이 역시 '없다'입니다. 따라서 루트 안은 음수가 될 수 없습니다. 루트 안이 양수이면 두 개의 해를 가지고 0이라면 한 개의 해, 음수라면 해를 가지지 않으며 굳이 개수를 묻는다면 0개라고 할 수 있습니다.

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• 중학수학 개념사전 92

다항식의 곱셈식을 원래대로 돌려놓는 것을 인수분해라고 합니다. 즉, 와 같은 두 다항식의 곱을 전개하여 얻은 하나의 다항식 을 로 다시 만드는 것을 인수분해라고 합니다. 이때의 인수는 와 같이 을 만드는 데 필요한 원인이 되는 수를 말합니다.

인수분해에서 '분해'는 인수들을 낱낱으로 흩어 놓겠다는 것이 아니고, 원인이 되는 인수들이 보이게 하고, 이들의 곱으로 나타내겠다는 말입니다. 그런데 는 단항식입니다. 결국, 인수분해는 2개 이상의 항을 갖고 있는 다항식을 단항식으로 만드는 것입니다.

소인수 분해 : 소수들의 곱

인수분해 : 인수들의 곱

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• 중학수학 개념사전 92

1과 소수를 제외한 수를 합성수라고 하는데, 합성수는 모두 소수들의 곱으로 되어 있습니다. 소인수분해는 바로 이 합성수를 소수가 보이도록 곱으로 나타내는 것을 말합니다.

인수 : 원인이 되는 수 또는 문자

소수 : 약수가 2개인 수

소인수 : 소수인 인수

소인수분해 : 합성수를 소수들의 곱으로 나타낸 식

소인수분해에서 분해는 소수들로 분해하여 떨어뜨려놓은 것처럼 생각하기 쉽지만 정확하게 말하면 소수들이 보이도록 곱으로 나타낸 수라고 보아야 합니다. 큰 수를 소인수분해를 하면 소인수분해를 한 상태에서 약수의 개수를 구할 수 있고, 아울러 최대공약수나 최소공배수를 좀 더 편하게 구할 수 있게 됩니다.

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• 중학수학 개념사전 92